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氣泡液體中的演變動力學(xué)分析
來源：知乎 阿黃sweetgirl 瀏覽 1038 次 發(fā)布時間:2021-08-21
氣泡液體是大小不同的球狀氣泡分散到液體中的液氣體系。在氣泡液體中，大小不同氣泡是一個不穩(wěn)定的體系，其內(nèi)部不等的壓強(qiáng)會使整個體系變化，總體趨勢是氣泡半徑出現(xiàn)粗化現(xiàn)象，這種粗化跟晶體生長中的Ostwald熟化的現(xiàn)象是一致的（Ref 1）。根據(jù)附加壓力公式，可知較小的氣泡其內(nèi)部具有較大的壓強(qiáng)，因此與旁邊較大的氣泡間就會存在壓強(qiáng)差（圖1a），氣泡間液體兩側(cè)的壓強(qiáng)差會使氣體從壓強(qiáng)較大的地方向較小的地方擴(kuò)散，從而出現(xiàn)大的氣泡增大，小的氣泡減小直至消失的情形，這就是氣泡Ostwald熟化的機(jī)理（Ref 2）。從能量的觀點(diǎn)來說，Ostwald熟化的結(jié)果降低了體系的表面能，從而使整個體系更加穩(wěn)定。
圖1（a）氣泡演變Ostwald熟化原理（b）Lemlich理論中半徑為ρ的假想氣泡模型
從定性的角度來看，氣泡的Ostwald熟化的過程是大氣泡吸收小氣泡的過程。但從定量上的角度來說，在氣泡演變的任一時刻，到底尺寸為多少的氣泡傾向?yàn)殚L大，而尺寸為多少的氣泡減小而傾向于消失呢？1978年，美國辛那提大學(xué)的Robert Lemlich建立模型解決了這個問題（Ref 3）。Lemlich的理論核心和依據(jù)是：1）假設(shè)所有的氣泡內(nèi)的液體相互擴(kuò)散時，都是先把氣體擴(kuò)散到液體中，再通過液體擴(kuò)散到其他氣泡中實(shí)現(xiàn)Ostwald熟化過程（圖1a），這個假設(shè)在氣泡含量不高，不是相互接觸的情形下是合理的。2）在氣泡演化的任何一個時刻，液體中氣體的濃度是均勻一致的，這個假設(shè)在研究所有氣泡的演化整體行為上是可行的。3）依據(jù)亨利定律，這個液體中氣體的濃度可以等價為液體內(nèi)部有一個氣體壓強(qiáng)，而這個壓強(qiáng)可以看成是一個假想的氣泡內(nèi)部的壓強(qiáng)（圖1b），其半徑ρ可以依據(jù)Laplace方程計算出來。所以，所謂氣泡演化就是所有氣泡跟這個假想的氣泡進(jìn)行氣體交流。這樣就把體系中氣泡演變多對多擴(kuò)散的復(fù)雜情形簡化為了多對一的演變過程。由此，體系中任意一個半徑為r氣泡與這個液體的中假想的氣泡的壓強(qiáng)差△P為
公式1
此氣泡與液體（假想氣泡）之間的氣體的以摩爾為單位的傳輸速率Qm為
公式2
公式中J為氣體的有效滲透系數(shù)，As為氣泡氣體傳輸發(fā)生的表面積，dn/dt是單位時間傳輸?shù)哪枖?shù)。對于球形氣泡As=4πr^2，在任一時刻，通過所有氣泡界面的氣體量是守恒的，即
公式3
假設(shè)氣體符合氣體理想氣體方程，即PV=nRT，對于球形氣泡，體積V=4πr^3/3,從而可把摩爾速率轉(zhuǎn)化為氣泡半徑變化的速率。通過以上各式，可得
公式4
公式5
這就給出了氣泡Ostwald的動力學(xué)方程。對于任意氣泡體系，知道某時刻的氣泡體積或者半徑分布，就可以利用公式4算出ρ判定體系中的氣泡是增大還是減小，氣泡半徑大于ρ的在這一時刻又增大的趨勢，小于的會在下一時刻減小，根據(jù)ρ的公式，其含義是所有氣泡的瞬時平均半徑。而且，利用公式5就可以預(yù)測氣泡在后面任意時刻的氣泡分布，以及氣泡的演化的最終狀態(tài)及所需要的時間。
Lemlich的理論在預(yù)測低含量的氣泡時的演化規(guī)律無疑是合理而準(zhǔn)確的。而且氣泡含量越低，其準(zhǔn)確性越高。最重要的原因他的理論建立在氣體傳輸發(fā)生在氣泡與液體而不是氣泡與氣泡之間。對于高濃度的氣泡液體，氣泡之間相互擠壓，氣體傳輸可以直接通過氣泡接觸的邊界進(jìn)行。而且在演化中，液體的局域氣體濃度也不全相同，在預(yù)測這類演化時，會出現(xiàn)較大的誤差，需要用到泡沫的結(jié)構(gòu)與演化規(guī)律去解釋。
筆者借用這種理論，討論了在微結(jié)構(gòu)下氣泡的演變行為。并去控制氣泡的演變過程和演變方向，其相應(yīng)結(jié)果發(fā)表在Ref4中。控制演變過程的動畫如下所示：
微結(jié)構(gòu)下氣泡演變的集聚效應(yīng)
即剛開始無序的氣泡，在生長和微結(jié)構(gòu)的調(diào)控下，最終全部演變?yōu)檎呅蔚囊?guī)則氣泡陣列。
Ref 1：Lifshitz,I.M.&Slyozov,V.V.The Kinetics Of Precipitation From Supersaturated Solid Solutions.J.Phys.Chem.Solids 19,35-50(1961).
Ref 2：Stevenson,P.Inter-bubble gas diffusion in liquid foam.Curr.Opin.Colloid Interface Sci.15,374-381(2010).
Ref 3：Lemlich,R.Prediction of Changes in Bubble Size Distribution Due to Interbubble Gas Diffusion in Foam.Ind.Eng.Chem.Fundam.17,89-93(1978).
Ref 4：Zhandong Huang,Meng Su,Qiang Yang,Zheng Li,Shuoran Chen,Yifan Li,Xue Zhou,Fengyu Li,Yanlin Song*.A general patterning approach by manipulating the evolution of two-dimensional liquid foams.Nat.Commun.2017,8,14110.
注：此文摘選自本人博士畢業(yè)論文。